有限数学示例

$2 x^{\frac{11}{5}} - 19 x^{\frac{6}{5}} + 24 x^{\frac{1}{5}} = 0$

解题步骤 1

求每项中都有的公因数 $x^{\frac{1}{5}}$ 。

$2 {(x^{\frac{1}{5}})}^{11} - 19 {(x^{\frac{1}{5}})}^{6} + 24 x^{\frac{1}{5}}$

解题步骤 2

代入 $u$ 替换 $x^{\frac{1}{5}}$ 。

$2 {(u)}^{11} - 19 {(u)}^{6} + 24 (u) = 0$

解题步骤 3

求解 $u$ 。

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解题步骤 3.1

将 $24$ 乘以 $u$ 。

$2 u^{11} - 19 u^{6} + 24 u = 0$

解题步骤 3.2

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 3.2.1

从 $2 u^{11} - 19 u^{6} + 24 u$ 中分解出因数 $u$ 。

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解题步骤 3.2.1.1

从 $2 u^{11}$ 中分解出因数 $u$ 。

$u (2 u^{10}) - 19 u^{6} + 24 u = 0$

解题步骤 3.2.1.2

从 $- 19 u^{6}$ 中分解出因数 $u$ 。

$u (2 u^{10}) + u (- 19 u^{5}) + 24 u = 0$

解题步骤 3.2.1.3

从 $24 u$ 中分解出因数 $u$ 。

$u (2 u^{10}) + u (- 19 u^{5}) + u \cdot 24 = 0$

解题步骤 3.2.1.4

从 $u (2 u^{10}) + u (- 19 u^{5})$ 中分解出因数 $u$ 。

$u (2 u^{10} - 19 u^{5}) + u \cdot 24 = 0$

解题步骤 3.2.1.5

从 $u (2 u^{10} - 19 u^{5}) + u \cdot 24$ 中分解出因数 $u$ 。

$u (2 u^{10} - 19 u^{5} + 24) = 0$

解题步骤 3.2.2

将 $u^{10}$ 重写为 ${(u^{5})}^{2}$ 。

$u (2 {(u^{5})}^{2} - 19 u^{5} + 24) = 0$

解题步骤 3.2.3

使 $u = u^{5}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $u^{5}$ 。

$u (2 u^{2} - 19 u + 24) = 0$

解题步骤 3.2.4

分组因式分解。

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解题步骤 3.2.4.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 2 \cdot 24 = 48$ 并且它们的和为 $b = - 19$ 。

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解题步骤 3.2.4.1.1

从 $- 19 u$ 中分解出因数 $- 19$ 。

$u (2 u^{2} - 19 u + 24) = 0$

解题步骤 3.2.4.1.2

把 $- 19$ 重写为 $- 3$ 加 $- 16$

$u (2 u^{2} + (- 3 - 16) u + 24) = 0$

解题步骤 3.2.4.1.3

运用分配律。

$u (2 u^{2} - 3 u - 16 u + 24) = 0$

解题步骤 3.2.4.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 3.2.4.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$u ((2 u^{2} - 3 u) - 16 u + 24) = 0$

解题步骤 3.2.4.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$u (u (2 u - 3) - 8 (2 u - 3)) = 0$

解题步骤 3.2.4.3

通过因式分解出最大公因数 $2 u - 3$ 来因式分解多项式。

$u ((2 u - 3) (u - 8)) = 0$

解题步骤 3.2.5

因数。

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解题步骤 3.2.5.1

使用 $u^{5}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$u ((2 u^{5} - 3) (u^{5} - 8)) = 0$

解题步骤 3.2.5.2

去掉多余的括号。

$u (2 u^{5} - 3) (u^{5} - 8) = 0$

解题步骤 3.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$u = 0$

$2 u^{5} - 3 = 0$

$u^{5} - 8 = 0$

解题步骤 3.4

将 $u$ 设为等于 $0$ 。

$u = 0$

解题步骤 3.5

将 $2 u^{5} - 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 3.5.1

将 $2 u^{5} - 3$ 设为等于 $0$ 。

$2 u^{5} - 3 = 0$

解题步骤 3.5.2

求解 $u$ 的 $2 u^{5} - 3 = 0$ 。

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解题步骤 3.5.2.1

在等式两边都加上 $3$ 。

$2 u^{5} = 3$

解题步骤 3.5.2.2

将 $2 u^{5} = 3$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 3.5.2.2.1

将 $2 u^{5} = 3$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 u^{5}}{2} = \frac{3}{2}$

解题步骤 3.5.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.5.2.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 u^{5}}{2} = \frac{3}{2}$

解题步骤 3.5.2.2.2.1.2

用 $u^{5}$ 除以 $1$ 。

$u^{5} = \frac{3}{2}$

解题步骤 3.5.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$u = \sqrt[5]{\frac{3}{2}}$

解题步骤 3.5.2.4

化简 $\sqrt[5]{\frac{3}{2}}$ 。

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解题步骤 3.5.2.4.1

将 $\sqrt[5]{\frac{3}{2}}$ 重写为 $\frac{\sqrt[5]{3}}{\sqrt[5]{2}}$ 。

$u = \frac{\sqrt[5]{3}}{\sqrt[5]{2}}$

解题步骤 3.5.2.4.2

将 $\frac{\sqrt[5]{3}}{\sqrt[5]{2}}$ 乘以 $\frac{{\sqrt[5]{2}}^{4}}{{\sqrt[5]{2}}^{4}}$ 。

$u = \frac{\sqrt[5]{3}}{\sqrt[5]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[5]{2}}^{4}}{{\sqrt[5]{2}}^{4}}$

解题步骤 3.5.2.4.3

合并和化简分母。

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解题步骤 3.5.2.4.3.1

将 $\frac{\sqrt[5]{3}}{\sqrt[5]{2}}$ 乘以 $\frac{{\sqrt[5]{2}}^{4}}{{\sqrt[5]{2}}^{4}}$ 。

$u = \frac{\sqrt[5]{3} {\sqrt[5]{2}}^{4}}{\sqrt[5]{2} {\sqrt[5]{2}}^{4}}$

解题步骤 3.5.2.4.3.2

对 $\sqrt[5]{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$u = \frac{\sqrt[5]{3} {\sqrt[5]{2}}^{4}}{{\sqrt[5]{2}}^{1} {\sqrt[5]{2}}^{4}}$

解题步骤 3.5.2.4.3.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$u = \frac{\sqrt[5]{3} {\sqrt[5]{2}}^{4}}{{\sqrt[5]{2}}^{1 + 4}}$

解题步骤 3.5.2.4.3.4

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$u = \frac{\sqrt[5]{3} {\sqrt[5]{2}}^{4}}{{\sqrt[5]{2}}^{5}}$

解题步骤 3.5.2.4.3.5

将 ${\sqrt[5]{2}}^{5}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 3.5.2.4.3.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[5]{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{5}}$ 。

$u = \frac{\sqrt[5]{3} {\sqrt[5]{2}}^{4}}{{(2^{\frac{1}{5}})}^{5}}$

解题步骤 3.5.2.4.3.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$u = \frac{\sqrt[5]{3} {\sqrt[5]{2}}^{4}}{2^{\frac{1}{5} \cdot 5}}$

解题步骤 3.5.2.4.3.5.3

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $5$ 。

$u = \frac{\sqrt[5]{3} {\sqrt[5]{2}}^{4}}{2^{\frac{5}{5}}}$

解题步骤 3.5.2.4.3.5.4

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.2.4.3.5.4.1

约去公因数。

$u = \frac{\sqrt[5]{3} {\sqrt[5]{2}}^{4}}{2^{\frac{5}{5}}}$

解题步骤 3.5.2.4.3.5.4.2

重写表达式。

$u = \frac{\sqrt[5]{3} {\sqrt[5]{2}}^{4}}{2^{1}}$

解题步骤 3.5.2.4.3.5.5

计算指数。

$u = \frac{\sqrt[5]{3} {\sqrt[5]{2}}^{4}}{2}$

解题步骤 3.5.2.4.4

化简分子。

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解题步骤 3.5.2.4.4.1

将 ${\sqrt[5]{2}}^{4}$ 重写为 $\sqrt[5]{2^{4}}$ 。

$u = \frac{\sqrt[5]{3} \sqrt[5]{2^{4}}}{2}$

解题步骤 3.5.2.4.4.2

对 $2$ 进行 $4$ 次方运算。

$u = \frac{\sqrt[5]{3} \sqrt[5]{16}}{2}$

解题步骤 3.5.2.4.5

化简分子。

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解题步骤 3.5.2.4.5.1

使用根数乘积法则进行合并。

$u = \frac{\sqrt[5]{3 \cdot 16}}{2}$

解题步骤 3.5.2.4.5.2

将 $3$ 乘以 $16$ 。

$u = \frac{\sqrt[5]{48}}{2}$

解题步骤 3.6

将 $u^{5} - 8$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 3.6.1

将 $u^{5} - 8$ 设为等于 $0$ 。

$u^{5} - 8 = 0$

解题步骤 3.6.2

求解 $u$ 的 $u^{5} - 8 = 0$ 。

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解题步骤 3.6.2.1

在等式两边都加上 $8$ 。

$u^{5} = 8$

解题步骤 3.6.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$u = \sqrt[5]{8}$

解题步骤 3.7

最终解为使 $u (2 u^{5} - 3) (u^{5} - 8) = 0$ 成立的所有值。

$u = 0, \frac{\sqrt[5]{48}}{2}, \sqrt[5]{8}$

解题步骤 4

代入 $x$ 替换 $u$ 。

$x^{\frac{1}{5}} = 0, \frac{\sqrt[5]{48}}{2}, \sqrt[5]{8}$

解题步骤 5

对 $x$ 求解 $x^{\frac{1}{5}} = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将方程两边同时进行 $5$ 次方运算以消去左边的分数指数。

${(x^{\frac{1}{5}})}^{5} = 0^{5}$

解题步骤 5.2

化简指数。

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解题步骤 5.2.1

化简左边。

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解题步骤 5.2.1.1

化简 ${(x^{\frac{1}{5}})}^{5}$ 。

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解题步骤 5.2.1.1.1

将 ${(x^{\frac{1}{5}})}^{5}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.2.1.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = 0^{5}$

解题步骤 5.2.1.1.1.2

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1.1.1.2.1

约去公因数。

$x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = 0^{5}$

解题步骤 5.2.1.1.1.2.2

重写表达式。

$x^{1} = 0^{5}$

解题步骤 5.2.1.1.2

化简。

$x = 0^{5}$

解题步骤 5.2.2

化简右边。

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解题步骤 5.2.2.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 6

对 $x$ 求解 $x^{\frac{1}{5}} = \frac{\sqrt[5]{48}}{2}$ 。

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解题步骤 6.1

将方程两边同时进行 $5$ 次方运算以消去左边的分数指数。

${(x^{\frac{1}{5}})}^{5} = {(\frac{\sqrt[5]{48}}{2})}^{5}$

解题步骤 6.2

化简指数。

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解题步骤 6.2.1

化简左边。

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解题步骤 6.2.1.1

化简 ${(x^{\frac{1}{5}})}^{5}$ 。

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解题步骤 6.2.1.1.1

将 ${(x^{\frac{1}{5}})}^{5}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 6.2.1.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = {(\frac{\sqrt[5]{48}}{2})}^{5}$

解题步骤 6.2.1.1.1.2

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1.1.1.2.1

约去公因数。

$x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = {(\frac{\sqrt[5]{48}}{2})}^{5}$

解题步骤 6.2.1.1.1.2.2

重写表达式。

$x^{1} = {(\frac{\sqrt[5]{48}}{2})}^{5}$

解题步骤 6.2.1.1.2

化简。

$x = {(\frac{\sqrt[5]{48}}{2})}^{5}$

解题步骤 6.2.2

化简右边。

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解题步骤 6.2.2.1

化简 ${(\frac{\sqrt[5]{48}}{2})}^{5}$ 。

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解题步骤 6.2.2.1.1

对 $\frac{\sqrt[5]{48}}{2}$ 运用乘积法则。

$x = \frac{{\sqrt[5]{48}}^{5}}{2^{5}}$

解题步骤 6.2.2.1.2

将 ${\sqrt[5]{48}}^{5}$ 重写为 $48$ 。

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解题步骤 6.2.2.1.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[5]{48}$ 重写成 $48^{\frac{1}{5}}$ 。

$x = \frac{{(48^{\frac{1}{5}})}^{5}}{2^{5}}$

解题步骤 6.2.2.1.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x = \frac{48^{\frac{1}{5} \cdot 5}}{2^{5}}$

解题步骤 6.2.2.1.2.3

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $5$ 。

$x = \frac{48^{\frac{5}{5}}}{2^{5}}$

解题步骤 6.2.2.1.2.4

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.2.1.2.4.1

约去公因数。

$x = \frac{48^{\frac{5}{5}}}{2^{5}}$

解题步骤 6.2.2.1.2.4.2

重写表达式。

$x = \frac{48^{1}}{2^{5}}$

解题步骤 6.2.2.1.2.5

计算指数。

$x = \frac{48}{2^{5}}$

解题步骤 6.2.2.1.3

对 $2$ 进行 $5$ 次方运算。

$x = \frac{48}{32}$

解题步骤 6.2.2.1.4

约去 $48$ 和 $32$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.2.1.4.1

从 $48$ 中分解出因数 $16$ 。

$x = \frac{16 (3)}{32}$

解题步骤 6.2.2.1.4.2

约去公因数。

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解题步骤 6.2.2.1.4.2.1

从 $32$ 中分解出因数 $16$ 。

$x = \frac{16 \cdot 3}{16 \cdot 2}$

解题步骤 6.2.2.1.4.2.2

约去公因数。

$x = \frac{16 \cdot 3}{16 \cdot 2}$

解题步骤 6.2.2.1.4.2.3

重写表达式。

$x = \frac{3}{2}$

解题步骤 7

对 $x$ 求解 $x^{\frac{1}{5}} = \sqrt[5]{8}$ 。

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解题步骤 7.1

将方程两边同时进行 $5$ 次方运算以消去左边的分数指数。

${(x^{\frac{1}{5}})}^{5} = {\sqrt[5]{8}}^{5}$

解题步骤 7.2

化简指数。

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解题步骤 7.2.1

化简左边。

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解题步骤 7.2.1.1

化简 ${(x^{\frac{1}{5}})}^{5}$ 。

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解题步骤 7.2.1.1.1

将 ${(x^{\frac{1}{5}})}^{5}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 7.2.1.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = {\sqrt[5]{8}}^{5}$

解题步骤 7.2.1.1.1.2

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1.1.1.2.1

约去公因数。

$x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = {\sqrt[5]{8}}^{5}$

解题步骤 7.2.1.1.1.2.2

重写表达式。

$x^{1} = {\sqrt[5]{8}}^{5}$

解题步骤 7.2.1.1.2

化简。

$x = {\sqrt[5]{8}}^{5}$

解题步骤 7.2.2

化简右边。

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解题步骤 7.2.2.1

将 ${\sqrt[5]{8}}^{5}$ 重写为 $8$ 。

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解题步骤 7.2.2.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[5]{8}$ 重写成 $8^{\frac{1}{5}}$ 。

$x = {(8^{\frac{1}{5}})}^{5}$

解题步骤 7.2.2.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x = 8^{\frac{1}{5} \cdot 5}$

解题步骤 7.2.2.1.3

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $5$ 。

$x = 8^{\frac{5}{5}}$

解题步骤 7.2.2.1.4

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.2.1.4.1

约去公因数。

$x = 8^{\frac{5}{5}}$

解题步骤 7.2.2.1.4.2

重写表达式。

$x = 8^{1}$

解题步骤 7.2.2.1.5

计算指数。

$x = 8$

解题步骤 8

列出所有解。

$x = 0, \frac{3}{2}, 8$

解题步骤 9

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$x = 0, \frac{3}{2}, 8$

小数形式：

$x = 0, 1.5, 8$

带分数形式：

$x = 0, 1 \frac{1}{2}, 8$

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